Question

【題目】已知拋物線(xiàn)，拋物線(xiàn)與圓的相交弦長(zhǎng)為4.

（1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，為拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)，，若的面積為，且直線(xiàn)的斜率存在，求直線(xiàn)的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）利用圓與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)在拋物線(xiàn)和圓上，代入方程即可求解.

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，將拋物線(xiàn)與直線(xiàn)聯(lián)立，分別消，再利用韋達(dá)定理可得兩根之和、兩根之積，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，的面積為

即可求解.

（1）由圓及拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)既在拋物線(xiàn)上也在圓上，

有：，解得

故拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，

點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.

聯(lián)立方程，消去后整理為，

可得，

聯(lián)立方程，消去后整理為，

可得，，得

由有，，

，可得

的面積為

可得，有或

聯(lián)立方程解得或，又由，

故此時(shí)直線(xiàn)的方程為或

聯(lián)立方程，解方程組知方程組無(wú)解.

故直線(xiàn)的方程為或