Question

（1）設函數f（x）=x²-1，對任意x∈[

3

2

，+∞)，f(

x

m

)-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立，則實數m的取值范圍是

（-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞）

．
（2）函數f（x）=

2-x-1(x≤0) f(x-1)，(x＞0)

，若方程f（x）=x+a恰有兩個不等的實根，則a的取值范圍是

（-∞，1]

．

Answer 1

分析：（1）將函數代入，再化簡并分離參數，確定函數的最值，即可求得m的取值范圍；
（2）在同一坐標系中畫出函數f（x）的圖象與函數y=x+a的圖象，利用數形結合，易求出滿足條件實數a的取值范圍．

解答：解：（1）把f（x）=x²-1代入，

x2

m2

-1-4m²（x²-1）≤（x-1）²-1+4（m2-1）
化簡分離參數，由x∈[

3

2

，+∞）可得

1

m2

-4m²≤-

3

x2

-

2

x

+1
令y=-

3

x2

-

2

x

+1，由x∈[

3

2

，+∞）可得函數在由x∈[

3

2

，+∞）上單調遞增，所以x=

3

2

時，y取得最小值為-

8

3

所以得

1

m2

-4m²≤-

8

3

整理得：12m⁴-5m²-3≥0
所以（3m²+1）（4m²-3）≥0，所以4m²-3≥0
即m∈（-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞）；
（2）函數f（x）=

2-x-1(x≤0) f(x-1)，(x＞0)

的圖象如圖所示，
當a＜1時，函數y=f（x）的圖象與函數y=x+a的圖象有兩個交點，即方程f（x）=x+a有且只有兩個不相等的實數根．
故答案為：（1）（-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞）；
（2）（-∞，1]

點評：本題考查恒成立問題，考查方程根的研究，考查數形結合的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．