【題目】已知橢圓
右焦點
，離心率為
，過
作兩條互相垂直的弦
，設中點分別為
．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)證明：直線
必過定點，并求出此定點坐標．
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）根據題意確定出c與e的值，利用離心率公式求出a的值，進而求出b的值，確定出橢圓方程即可；
（2）由直線AB與CD向量存在，設為k，表示出AB方程，設出A與B坐標，進而表示出M坐標，聯立直線AB與橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系表示出M，同理表示出N，根據M與N橫坐標相同求出k的值，得到此時MN斜率不存在，直線MN恒過定點；若直線MN斜率存在，表示出直線MN斜率，進而表示出直線MN，令y=0，求出x的值，得到直線MN恒過定點，綜上，得到直線MN恒過定點，求出定點坐標即可；
解：(1) 由題意：
，
∴
，
則橢圓的方程為
(2) ∵
斜率均存在
∴設直線
方程為：
，
再設
，則有
，
聯立得：
，
消去
得：
，
∴
，即
，
將上式中的
換成
，同理可得：
，
若
，解得：
，直線
斜率不存在，
此時直線過點
；
下證動直線過定點
，
若直線斜率存在，則
，
直線為
，
令
，得
，
綜上，直線過定點；
陽光同學一線名師全優好卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
：
，一動直線l過
與圓相交于
.兩點，
是
中點，l與直線m：
相交于
.
（1）求證：當l與m垂直時，l必過圓心；
（2）當
時，求直線l的方程；
（3）探索
是否與直線l的傾斜角有關，若無關，請求出其值；若有關，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某城市100戶居民的月平均用電量（單位：度），以
，
，
，
，
，
，
分組的頻率分布直方圖如圖所示.
（1）求直方圖中
的值；
（2）求月平均用電量的眾數和中位數；
（3）在月平均用電量為，，的三組用戶中，用分層抽樣的方法抽取10戶居民，則月平均用電量在的用戶中應抽取多少戶？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
,若存在實數
,使得等式
對于定義域內的任意實數
均成立,則稱函數為“可平衡”函數,有序數對
稱為函數的“平衡”數對.
(1)若
,判斷
是否為“可平衡”函數,并說明理由;
(2)若
且
,
均為
的“可平衡”數對,當
時,方程
有兩個不相等的實根,求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
．
(1)若直線
過點
且被圓
截得的弦長為2，求直線的方程；
(2)從圓外一點
向圓引一條切線，切點為
為坐標原點，滿足
，求點的軌跡方程及
的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
的焦距為2
，左頂點與上頂點連線的斜率為
．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過點P（m，0）作圓x2+y2＝1的一條切線l交橢圓C于M，N兩點，當|MN|的值最大時，求m的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
中，底面
為平行四邊形， 
底面
， 
是棱
的中點，
且
.
（1）求證： 
平面
；
（2）如果
是棱
上一點，且直線
與平面
所成角的正弦值為
,求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2019年，隨著中國第一款5G手機投入市場，5G技術已經進入高速發展階段.已知某5G手機生產廠家通過數據分析，得到如下規律：每生產手機
萬臺，其總成本為
，其中固定成本為800萬元，并且每生產1萬臺的生產成本為1000萬元（總成本=固定成本+生產成本），銷售收入
萬元滿足
（1）將利潤
表示為產量
萬臺的函數；
（2）當產量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少萬元？
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