Question

【題目】已知數列的前項和為，設.

（1）若，記數列的前項和為.①求證：數列為等差數列；②若不等式對任意的都成立，求實數的最小值；

（2）若，且，是否存在正整數，使得無窮數列，，，…成公差不為0的等差數列？若存在，給出數列的一個通項公式；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在；詳見解析

【解析】

（1）①，，兩式相減化簡得，所以數列為等差數列；②先利用錯位相減求出，由不等式對任意的都成立得到對任意恒成立，求出的最大值得解；（2）由題得當，時，

.假設存在，，，，…成等差數列，公差為，則，再對分兩種情況討論得解.

（1）①因為，，（i）

所以．（ii）

將（i）（ii），得，即．（iii）

所以，當，時，，（iv）

將（iii）（iv）得，

當，時，，

整理得，，即，

所以數列為等差數列．

②因為，令，2，得，

解得，，

結合①可知，，故．

所以，

，

兩式相減，

得，

所以．

依題意，不等式對任意的都成立，

即對任意恒成立，

所以對任意恒成立．

令，

則，

所以當，2時，，即，

且當，時，，即

所以當時，取得最大值，

所以，實數的最小值為．

（2）因為，所以，即．

因為，所以，．

所以，，．

所以當，時，，．

假設存在，，，，…成等差數列，公差為．

則，

（ⅰ）若，則當，時，，

而，，所以與題意矛盾．

（ⅱ）若，則當，時，與題意矛盾．

所以不存在，使得無窮數列，，，…成公差不為0的等差數列．