Question

【題目】若定義在R上的函數滿足：對于任意實數x、y，總有恒成立，我們稱為“類余弦型”函數．

已知為“類余弦型”函數，且，求和的值；

在的條件下，定義數列2，3，求的值．

若為“類余弦型”函數，且對于任意非零實數t，總有，證明：函數為偶函數，設有理數，滿足，判斷和的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1），（2）（3）證明見解析，，證明見解析

【解析】

是抽象函數基礎題,令,求得;令,求得;

對于此數列,需要求其通項,而求通項又需要遞推公式,令，,利用題中關系式推導出遞推公式,求通項然后利用對數的運算法則求解答案;

屬于難題,因為的鋪墊,代入特定的數即令,y為任意實數即可證明偶函數,證明與的大小關系需要定義新的數列,又因為題目中的有理數條件,要充分利用分數的特點.

解：令，，則，所以．

令，，則，所以．

令，，其中n是大于1的整數，則，所以，即．

又因為，所以數列是首項為3，公比為2的等比數列，所以，則．

所以原式．

(3)證明:由題意函數定義域為R關于原點對稱,

令,y為任意實數,則，即，所以是偶函數．

令N為,分母的最小公倍數,并且,,都是自然數,并且．

令數列滿足，，1，下證：數列單調遞增．

，所以；

若，n是正整數，即；

令，，則，即．

所以．

綜上,數列單調遞增,所以，又因為是偶函數，所以