Question

已知函數f（x）=ax³+bx+1（a≠0），當x=1時有極值．
（1）求a、b的關系式；
（2）若當x=1時，函數f（x）有極大值3，且經過點P（0，17）作曲線y=f（x）的切線l，求切線l的方程；
（3）設函數g（x）=f（x）-2x²（a＞0）在區間（2，3）上單調遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）f（x）=ax³+bx+1，f′（x）=3ax²+b，由題意可得3a+b=0；
（2）由題意得a+b+1=3，結合（1）可得a=-1，b=3，從而可得f（x）=-x³+3x+1，f′（x）=-3x²+3，設切線l與函數相切于點（m，-m³+3m+1），從而由切線方程代入即可；
（3）g（x）=f（x）-2x²=ax³-2x²-3ax+1，g′（x）=3ax²-4x-3a；化g（x）在區間（2，3）上單調遞減為g′（x）＞0在區間（2，3）上恒成立，從而解得．

解答： 解：（1）f（x）=ax³+bx+1，f′（x）=3ax²+b，
∵當x=1時有極值，∴3a+b=0，
即b=-3a；
（2）∵當x=1時，函數f（x）有極大值3，
∴f（1）=a+b+1=3，
又∵b=-3a，
解得，a=-1，b=3；
則f（x）=-x³+3x+1，f′（x）=-3x²+3，
設切線l與函數相切于點（m，-m³+3m+1）；
故斜率k=-3m²+3；
故切線l的方程為y-（-m³+3m+1）=（-3m²+3）（x-m）；
代入點P得，
17-（-m³+3m+1）=（-3m²+3）（0-m），
解得，m=2；
故切線l的方程為9x+y-17=0；
（3）g（x）=f（x）-2x²=ax³-2x²-3ax+1，
g′（x）=3ax²-4x-3a；
g（x）在區間（2，3）上單調遞減可化為
g′（x）＞0在區間（2，3）上恒成立，
又∵a＞0，
∴

g′(2)=12a-8-3a≤0 g′(3)=27a-12-3a≤0

，
解得，0＜a≤

1

2

．

點評：本題考查了導數的綜合應用，同時考查了恒成立問題及二次函數的最值問題等，屬于難題．