Question

【題目】設動點是圓上任意一點，過作軸的垂線，垂足為，若點在線段上，且滿足．

（1）求點的軌跡的方程；

（2）設直線與交于， 兩點，點坐標為，若直線， 的斜率之和為定值3，求證：直線必經過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）．（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）設P、M的坐標，根據條件得兩點坐標關系，再代入點滿足的方程，化簡得點的軌跡的方程；（2）由題意，得．即得,再將直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理化簡得

最后根據點斜式特點得定點.

試題解析： 1）設點P、M的坐標分別為 (x，y)、 (x0，y0)，由，得

∴

由點M在圓上，故，代入得．

∴ 點P的軌跡C的方程為 ．

（2）當直線l的斜率不存在時，設直線l的方程為： ，

設A，B兩點的坐標分別為 (x0，y0)、(x0， y0)，

由題意，得，解得，

所以直線l的方程為： ．當直線l的斜率存在時，

設直線l的方程為y=kx+b，與C聯立，

消元得．

設A，B兩點的坐標分別為 (x1，y1)、 (x2，y2)，

則， （*）．

由題意，得．

將y1=kx1+b和y2=kx2+b代入上式，可得,

所以．（**）

將（*）代入（**），化簡得，解得，

代入直線l方程，得．

不論b怎么變化，當=0即x=時， ．

綜上所述，直線l恒過定點．