Question

已知函數f(x)=sinωx·sin(-φ)-sin(+ωx)sin(π+φ)是R上的偶函數.其中ω>0,0≤φ≤π,其圖象關于點M(,0)對稱,且在區間[0,]上是單調函數,求φ和ω的值.

Answer 1

ω=或ω=2

由已知得f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ
=sin(ωx+φ),
∵f(x)是偶函數,∴φ=kπ+,k∈Z.
又∵0≤φ≤π,∴φ=.
∴f(x)=sin(ωx+)=cosωx.
又f(x)關于(,0)對稱,
故ω=kπ+,k∈Z.
即ω=+,k∈Z.
又ω>0,故k=0,1,2,…
當k=0時,ω=,f(x)=cosx在[0,]上是減函數.
當k=1時,ω=2,f(x)=cos2x在[0,]上是減函數.
當k=2時,ω=,f(x)=cosx在[0,]上不是單調函數,
當k>2時,同理可得f(x)在[0,]上不是單調函數,
綜上,ω=或ω=2.