Question

【題目】某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得如圖柱狀圖：

記x表示1臺機器在三年使用期內需更換的易損零件數，y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元），n表示購機的同時購買的易損零件數．
（1）若n=19，求y與x的函數解析式；
（2）若要求“需更換的易損零件數不大于n”的頻率不小于0.5，求n的最小值；
（3）假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件，分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數，以此作為決策依據，購買1臺機器的同時應購買19個還是20個易損零件？

Answer 1

【答案】
（1）

解：當n=19時，

y= =

（2）

解：由柱狀圖知，更換的易損零件數為16個頻率為0.06，

更換的易損零件數為17個頻率為0.16，

更換的易損零件數為18個頻率為0.24，

更換的易損零件數為19個頻率為0.24

又∵更換易損零件不大于n的頻率為不小于0.5．

則n≥19

∴n的最小值為19件

（3）

解：假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，

所須費用平均數為： （70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元）

假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買20個易損零件，

所須費用平均數為 （90×4000+10×4500）=4050（元）

∵4000＜4050

∴購買1臺機器的同時應購買19臺易損零件

【解析】（1）若n=19，結合題意，可得y與x的分段函數解析式；（2）由柱狀圖分別求出各組的頻率，結合“需更換的易損零件數不大于n”的頻率不小于0.5，可得n的最小值；（3）分別求出每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件時的平均費用，比較后，可得答案．；本題考查的知識點是分段函數的應用，頻率分布條形圖，方案選擇，難度中檔．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的最值及其幾何意義和頻率分布直方圖的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值；頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息．