Question

【題目】[選修4-4：坐標系與參數方程]
在直線坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為 （t為參數，a＞0）．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ=4cosθ．
（1）說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程；
（2）直線C3的極坐標方程為θ=α0 ， 其中α0滿足tanα0=2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由 ，得 ，兩式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．

∴C1為以（0，1）為圓心，以a為半徑的圓．

化為一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①

由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；

（2）

解：C2：ρ=4cosθ，兩邊同時乘ρ得ρ2=4ρcosθ，

∴x2+y2=4x，②

即（x﹣2）2+y2=4．

由C3：θ=α0，其中α0滿足tanα0=2，得y=2x，

∵曲線C1與C2的公共點都在C3上，

∴y=2x為圓C1與C2的公共弦所在直線方程，

①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即為C3 ，

∴1﹣a2=0，

∴a=1（a＞0）

【解析】（Ⅰ）把曲線C1的參數方程變形，然后兩邊平方作和即可得到普通方程，可知曲線C1是圓，化為一般式，結合x2+y2=ρ2 ， y=ρsinθ化為極坐標方程；（2）化曲線C2、C3的極坐標方程為直角坐標方程，由條件可知y=x為圓C1與C2的公共弦所在直線方程，把C1與C2的方程作差，結合公共弦所在直線方程為y=x可得1﹣a2=0，則a值可求．；本題考查參數方程即簡單曲線的極坐標方程，考查了極坐標與直角坐標的互化，訓練了兩圓公共弦所在直線方程的求法，是基礎題．