Question

【題目】已知y=f（x）是偶函數，定義x≥0時，f（x）=

（1）求f（-2）；

（2）當x＜-3時，求f（x）的解析式；

（3）設函數y=f（x）在區間[-5，5]上的最大值為g（a），試求g（a）的表達式．

Answer 1

【答案】（1）2； （2）；（3）=.

【解析】

根據偶函數定義，可得f（-2）=f（2），代入解析式即可求解。

根據偶函數定義，可得f（x）=f（-x），代入即可求得x＜-3時的解析式。

（3）由偶函數可得函數在[-5，5]上的最大值即為它在區間[0，5]上的最大值；對a分類討論，討論在對稱軸兩側的單調情況及最值即可。

（1）已知y=f（x）是偶函數，故f（-2）=f（2）=2（3-2）=2；

（2）當x＜-3時，f（x）=f（-x）=（-x-3）（a+x）=-（x+3）（a+x），

所以，當x＜-3時，f（x）的解析式為f（x）=-（x+3）（a+x）

（3）因為f（x）是偶函數，所以它在區間[-5，5]上的最大值即為它在區間[0，5]上的最大值，

①當a≤3時，f（x）在上單調遞增，在上單調遞減，所以，

②當3＜a≤7時，f（x）在與上單調遞增，在與上單調遞減，

所以此時只需比較與的大小．

（A）當3＜a≤6時，≥，所以

（B）當6＜a≤7時，＜，所以g（a）=

③當a＞7時，f（x）在與[3，5]上單調遞增，在上單調遞減，且＜f（5）=2（a-5），所以g（a）=f（5）=2（a-5），

綜上所述，g（a）=