Question

【題目】大慶實驗中學在高二年級舉辦線上數學知識競賽，在已報名的400名學生中，根據文理學生人數比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：

（1）估算一下本次參加考試的同學成績的中位數和眾數；

（2）已知樣本中分數小于40的學生有5人，試估計總體中分數在區間[40，50)內的人數；

（3）已知樣本中有一半理科生的分數不小于70，且樣本中分數不小于70的文理科生人數相等．試估計總體中理科生和文科生人數的比例．

Answer 1

【答案】（1）中位數72.5，眾數75；（2）20人；（3）3:2

【解析】

（1）由頻率分布直方圖知，樣本中分數低于50分的頻率為0.1，可以估計中位數為：，眾數則由直方圖即可得出；

（2）由（1）得樣本中分數低于50分的頻率為0.1，可求出樣本中分數低于50分的人數，而樣本中分數小于40的學生有5人，即可求出樣本中分數在區間[40，50)內的人數，進而可估計總體中分數在區間[40，50)內的人數；

（3）根據頻率分布直方圖，得出樣本中分數不小于70的人數為：人，結合題中條件，即可求出100個樣本中理科生人數為60人，女生人數為40人，最后根據分層抽樣的原理，即可估計總體中理科生和文科生人數的比例.

解：（1）由頻率分布直方圖知，樣本中分數低于50分的頻率為：

，

在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]的頻率分別為：0.1，0.2，0.4，0.2，

觀察可知，中位數位于[70，80]內，

則可以估計中位數為：，

則眾數為：.

（2）由（1）得樣本中分數低于50分的頻率為0.1，

所以樣本中分數低于50分的人數為：人，

而樣本中分數小于40的學生有5人，

所以樣本中分數在區間[40，50)內的人數為：10-5=5人，

根據分層抽樣，可估計總體中分數在區間[40，50)內的人數為：人.

（3）根據題意，樣本中分數不小于70的人數為：人，

而樣本中分數不小于70的文理科生人數相等，

則樣本中分數不小于70的文科人數為30人，理科人數為30人，

而樣本中有一半理科生的分數不小于70，

則100個樣本中理科生人數為：人，文科人數為40人，

根據分層抽樣的原理，可估計出總體中理科生和文科生人數的比例為：60：40=3:2.