Question

【題目】已知函數(shù) (其中為常數(shù)且)在處取得極值.

(1)當(dāng)時(shí)，求的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)；

(2)若在上的最大值為1，求的值.

Answer 1

【答案】(1) 的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為1.(2) 或..

【解析】試題分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)和導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的極值；（2）分， ， 三種請(qǐng)況分析函數(shù)的單調(diào)性和最值，分別求出參數(shù)值，和前者情況取交集即可。

解析：

(1)因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，

，當(dāng)時(shí)， ， ，

， 隨的變化情況如下表：

				1
	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.

所以的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為1.

(2)因?yàn)?/span>.

令得， ，因?yàn)?/span>在處取得極值，所以，

(i)當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以在區(qū)間上的最大值為，令，解得.

(ii)當(dāng)時(shí)， ，

①當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增， 上單調(diào)遞減， 上單調(diào)遞增，

所以最大值1可能在或處取得，而，

所以，解得；

②當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞增， 上單調(diào)遞增， 上單調(diào)遞增，所以最大值1可能在或處取得，而，所以，解得，與矛盾；

③當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以最大值1可能在處取得，而，矛盾，

綜上所述， 或.