Question

【題目】如圖1，矩形中， ，將沿折起，得到如圖所示的四棱錐，其中.

（1）證明：平面平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）的中點，連接， .易知， ，又求得， ，所以，得所以平面，平面平面.

（2）建立空間直角坐標系，求得平面的法向量.平面的法向量

，所以求得二面角的余弦值為。

試題解析：

（1）在圖2中取的中點，連接， .由條件可知圖1中四邊形為正方形，則有，且可求得.

在中， ， ， ，由余弦定理得.

在中， ，所以，即.

由于， 平面， 且， ，所以平面.

又平面，故平面平面.

（2）如圖，以為坐標原點，以平行于的方向為軸，平行于的方向為軸，建立空間直角坐標系.由題設條件，可得， ， ， .

由（1）得平面，可求得點坐標為，

所以， ，設平面的法向量為，由及得令，由此可得.

由于， ，設平面的法向量為，由及得令，由此可得

所以

則平面與平面所成銳二面角的余弦值為.