Question

【題目】已知函數
（1）求f（x）的單調區間；
（2）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（3）求證：對任意的正數a與b，恒有 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數

∴ ，

由f′（x）＞0x＞0；由f′（x）＜0﹣1＜x＜0；

∴f（x）的單調增區間（0，+∞），單調減區間（﹣1，0）

（2）解： ，

當x=1時，y'= 得切線的斜率為 ，所以k= ；

所以曲線在點（1，f（1））處的切線方程為：

y﹣ln2+ = ×（x﹣1），即x﹣4y+4ln2﹣3=0．

故切線方程為 x﹣4y+4ln2﹣3=0

（3）解：所證不等式等價為

而 ，設t=x+1，則 ，

由（1）結論可得，F（t）在（0，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增，

由此F（t）min=F（1）=0，

所以F（t）≥F（1）=0即 ，

記 代入得：

得證

【解析】（1）先求出函數f（x）的定義域，再求出函數f（x）的導數和駐點，然后列表討論，求函數f（x）的單調區間和極值．（2）欲求在點（1，f
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．