Question

【題目】如圖所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B為正方形，BB1C1C為菱形，B1C⊥AC1 ．
（Ⅰ）求證：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；
（Ⅱ）若D是CC1中點，∠ADB是二面角A﹣CC1﹣B的平面角，求直線AC1與平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：連接BC1 ， 因為BB1C1C為菱形， 所以B1C⊥BC1 ， 又B1C⊥AC1 ， AC1∩BC1=C1 ，
所以B1C⊥面ABC1 ． 故B1C⊥AB．
因為AB⊥BB1 ， 且BB1∩BC1 ， 所以AB⊥面BB1C1C．
而AB平面ABB1A1 ， 所以平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；

（Ⅱ）因為∠ADB是二面角A﹣CC1﹣B的平面角，
所以BD⊥CC1 ， 又D是CC1中點，
所以BD=BC1 ， 所以△C1BC為等邊三角形．
如圖所示，分別以BA，BB1 ， BD為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
不妨設AB=2，則A（2，0，0）， ， ， ）．
設 是平面ABC的一個法向量，則 ，即 ，
取z=1得 ．
所以 = ，
所以直線AC1與平面ABC所成的余弦值為
【解析】（Ⅰ）連接BC1 ， 可得B1C⊥面ABC1 ． B1C⊥AB． 由AB⊥BB1 ， 得AB⊥面BB1C1C．可得平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）由∠ADB是二面角A﹣CC1﹣B的平面角，得△C1BC為等邊三角形．分別以BA，BB1 ， BD為x，y，z軸建立空間直角坐標系，不妨設AB=2，則A（2，0，0）， ， ．利用向量法求解．
【考點精析】掌握平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角是解答本題的根本，需要知道一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．