Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 若a1=1，且Sn=tan﹣ ，其中n∈N*．
（1）求實數t的值和數列{an}的通項公式；
（2）若數列{bn}滿足bn=log3a2n ， 求數列{ }的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1時，a1=S1=ta1﹣ ，由a1=1，即1=t﹣ ，

解得：t= ，

∴Sn= an﹣ ，

當n≥2時，Sn﹣1= an﹣1﹣ ，

∴an=Sn﹣Sn﹣1=（ an﹣ ）﹣（ an﹣1﹣ ），即an=3an﹣1，

∴數列{an}是以1為首項，以3為公比的等比數列，

∴an=a1qn﹣1=3n﹣1，

當n=1時，an=3n﹣1，成立，

∴數列{an}的通項公式an=3n﹣1

（2）解：由（1）可知：bn=log3a2n=log332n﹣1=2n﹣1，

= = （ ﹣ ），

數列{ }的前n項和Tn，Tn= （1﹣ ）+ （ ﹣ ）+…+ （ ﹣ ），

= （1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ），

= （1﹣ ），

= ，

數列{ }的前n項和Tn=

【解析】（1）由當n=1時，a1=S1=ta1﹣ ，由a1=1，即1=t﹣ ，即可求得t的值，Sn= an﹣ ，當n≥2時，Sn﹣1= an﹣1﹣ ，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 整理得：an=3an﹣1 ， 數列{an}是以1為首項，以3為公比的等比數列，根據等比數列的通項公式求得數列{an}的通項公式；（2）由（1）可知：bn=log3a2n=log332n﹣1=2n﹣1， = = （ ﹣ ），利用“裂項法”即可求得數列{ }的前n項和Tn ．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．