Question

【題目】已知函數f（x）=log2 ． （Ⅰ）判斷f（x）奇偶性并證明；
（Ⅱ）用單調性定義證明函數g（x）= 在函數f（x）定義域內單調遞增，并判斷f（x）=log2 在定義域內的單調性．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 ＞0，求得﹣1＜x＜1，故函數f（x）的定義域為（﹣1，1）， 再根據f（﹣x）= =﹣log2 =﹣f（x），故函數f（x）為奇函數．
（Ⅱ）設﹣1＜x1＜x2＜1，∵g（x1）﹣g（x2）= ﹣ = ，
∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，1﹣x1＞0，1﹣x2＞0，∴g（x1）＜g（x2），
∴g（x）= 在（﹣1，1）內為增函數．
令g（x）=t，則f（x）=log2t，故f（x）在定義域內的單調性與t的單調性相同，
由于t在定義域（﹣1，1）內但地遞增，故f（x）在定義域（﹣1，1）內的單調遞增
【解析】（Ⅰ）由 ＞0，求得函數f（x）的定義域為（﹣1，1），關于原點對稱，再根據f（﹣x）=﹣f（x），可得函數f（x）為奇函數．（Ⅱ）設﹣1＜x1＜x2＜1，求得 g（x1）﹣g（x2）＜0，可得g（x）在（﹣1，1）內為增函數．令g（x）=t，則f（x）=log2t，故本題即求函數t在（﹣1，1）內的單調性相同，由此得出結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用奇偶性與單調性的綜合的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．