Question

【題目】如圖，直三棱柱中， , ， , 分別為和上的點，且．

（1）當為中點時，求證： ；

（2）當在上運動時，求三棱錐體積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）18.

【解析】試題分析：（1）當為中點時，可得平行四邊形為正方形，通過平面得到，由已知得，故而可得平面，由此能證明結果；（2）設，則， 到平面的距離為，根據等體積法可得，利用二次函數的性質可得最小值.

試題解析：（1）證明：∵為的中點，故為的中點，三棱柱為直三棱柱，∴平行四邊形為正方形，∴，

∵， 為的中點，∴，

∵三棱柱為直三棱柱，

∴平面，又平面，∴，

又，∴平面，

∵平面，∴．

（2）設，則

由已知可得到平面的距離即為的邊所對的高， ∴

∴當，即為的中點時， 有最小值18．