Question

【題目】設正項數列的前n項和為，已知

(1)求證：數列是等差數列，并求其通項公式

(2)設數列的前n項和為，且，若對任意都成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）首先求出，利用與作差，化簡即可得到為常數，進而可證明數列為等差數列，其首項為2，公差2，利用等差數列通項公式求出；

（2）結合（1）可得，利用裂項相消，即可求出數列的前項和為，代入，分離參數即可得到，分別為奇數和偶數是的范圍即可．

（1）證明:∵，且，

當時，，解得．

當時，有即，即．于是，

即．

∵，∴為常數

∴數列是為首項，為公差的等差數列，∴．

（2）由（1）可得： ，

∴

，即對任意都成立，

①當為偶數時，恒成立，

令，

，

在上為增函數，

②當為奇數時，恒成立，又，在為增函數，

∴由①②可知：

綜上所述的取值范圍為: