Question

【題目】已知函數，其圖象的一條切線為.

（1）求實數的值；

（2）求證:若，則.

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案見解析

【解析】

（1）假設切點，根據曲線在某點處導數的幾何意義，以及已知的切線方程，可得，然后研究可得，最后代值計算，可得結果.

（2）構建函數，計算，并利用二階導判斷的單調性，根據的值域來判斷的單調性，進一步求得，可得結果.

（1）函數定義域為

∵,∴.

由題可知：

在點處的切線為,

則且,

∴,即.

令,

則.

當時,

,在單調遞增;

當時,

,在單調遞減.

當時,;

當時,.

∴,.故實數的值為.

（2）令

即

則.

即

令,

則,

∵恒成立,

∴在單調遞減,即在單調遞減.

又,

,

∴,使得.

∴當時,;

當時,,

故在單調遞增,在單調遞減.

∴.

又,即,

∴,

.

令,.

則.

∵恒成立,

∴,故在單調遞增.

∴,

故,

即.

∴當時,.