Question

【題目】設三角形的邊長為不相等的整數，且最大邊長為n，這些三角形的個數為an.

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）在1，2，…，100中任取三個不同的整數，求它們可以是一個三角形的三條邊長的概率.

附：1+22+32+…+n2；1+23+33+…+n3

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】

（1）設x，y，n為滿足題意的三角形的邊長，不妨設x＜y＜n，則x+y＞n.若，三角形不存在，，時，按奇偶分類，為偶數，最小值為，為偶數，最小值為，然后依次得出的所有可能，從而得三角形的個數，相加后可得；

（2）根據（1）用所給公式求出，而100個數中任取3個的方法數是，由此可計算概率．

（1）設x，y，n為滿足題意的三角形的邊長，不妨設x＜y＜n，則x+y＞n.

由題意知：a1＝a2＝a3＝0，

當n≥4時，且n為偶數時，若y，三角形不存在，

若y，x，

若，x.

…，

若y＝n﹣1，x＝2，3，…，n﹣2，

所以：an＝1+3+…+（n﹣3）.

同理，當n＞4時，且n為奇數時，可得：，

所以數列{an}的通項公式為.

（2）根據求和公式，

＝（12+22+32+…+492）+12+22+…+482+（1+2+3+…+48），

，

.

所求的概率為.