Question

已知二次函數f（x）的圖象過點（0，4），對任意x滿足f（3-x）=f（x），且有最小值

7

4

．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數h（x）=f（x）-（2t-3）x（t∈R）在區間[0，1]上的最小值；
（3）是否存在實數m，使得在區間[-1，3]上函數f（x）的圖象恒在直線y=2x+m的上方？若存在，求出實數m的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數的性質,函數的最值及其幾何意義

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：（1）用待定系數法設出函數解析式，利用條件圖象過點（0，4），f（3-x）=f（x），最小值得到三個方程，解方程組得到本題結論；
（2）分類討論研究二次函數在區間上的最小值，得到本題結論；
（3）將條件轉化為恒成立問題，利用參變量分離，求出函數的最小值，得到本題結論．

解答： 解：（1）二次函數f（x）圖象經過點（0，4），任意x滿足f（3-x）=f（x），則對稱軸x=

3

2

，
f（x）存在最小值

7

4

，
則二次項系數a＞0，設f（x）=a（x-

3

2

）²+

7

4

．
將點（0，4）代入得：f（0）=

9a

4

+

7

4

=4，
解得：a=1
∴f（x）=（x-

3

2

）²+

7

4

=x²-3x+4．
（2）h（x）=f（x）-（2t-3）x
=x²-2tx+4=（x-t）²+4-t²，x∈[0，1]．
當對稱軸x=t≤0時，h（x）在x=0處取得最小值h（0）=4；
當對稱軸0＜x=t＜1時，h（x）在x=t處取得最小值h（t）=4-t²；
當對稱軸x=t≥1時，h（x）在x=1處取得最小值h（1）=1-2t+4=-2t+5．
綜上所述：當t≤0時，最小值4；當0＜t＜1時，最小值4-t²；當t≥1時，最小值-2t+5．
∴h（x）=

4，t≤0 4-t2，0＜t＜1 5-2t，t≥1

．
（3）由已知：f（x）＞2x+m對于x∈[-1，3]恒成立，
∴m＜x²-5x+4對x∈[-1，3]恒成立，
∵g（x）=x²-5x+4在x∈[-1，3]上的最小值為-

9

4

，
∴m＜-

9

4

．

點評：本題考查了二次函數在區間上的最值、函數方程思想和分類討論思想，本題計算量適中，屬于中檔題．