Question

求和：
（1）（a-1）+（a²-2）+…+（aⁿ-n）；
（2）（2-3×5^-1）+（4-3×5^-2）+…+（2n-3×5^-n）；
（3）1+2x+3x²+…+nx^n-1．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）S_n=（a-1）+（a²-2）+…+（aⁿ-n）=a+a²+…+aⁿ-（1+2+3+…+n）；對a分類討論，利用等差數列與等比數列的前n項和公式即可得出；
（2）（2-3×5^-1）+（4-3×5^-2）+…+（2n-3×5^-n）=（2+4+…+2n）-3(

1

5

+

1

52

+…+

1

5n

)，利用等差數列與等比數列的前n項和公式即可得出；
（3）設T_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1．對x分類討論，利用等差數列與等比數列的前n項和公式、“錯位相減法”即可得出．

解答： 解：（1）S_n=（a-1）+（a²-2）+…+（aⁿ-n）=a+a²+…+aⁿ-（1+2+3+…+n）；
當a=0時，S_n=-

n(1+n)

2

；當a=1時，S_n=n-

n(1+n)

2

；當a≠0，1時，S_n=

a(an-1)

a-1

-

n(1+n)

2

．
（2）（2-3×5^-1）+（4-3×5^-2）+…+（2n-3×5^-n）=（2+4+…+2n）-3(

1

5

+

1

52

+…+

1

5n

)
=

n(2+2n)

2

-

3× 1 5 (1- 1 5n )

1- 1 5

=n²+n-

3

4

(1-

1

5n

)．
（3）設T_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1．
當x=0時，T_n=1；
當x=1時，T_n=

n(1+n)

2

；
當xa≠0，1時，T_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1．
xT_n=x+2x²+3x³+…+（n-1）x^n-1+nxⁿ．
∴（1-x）T_n=1+x+x²+…+x^n-1-nxⁿ=

1-xn

1-x

-nxⁿ，
∴T_n=

1-xn

(1-x)2

-

nxn

1-x

．
綜上可得T_n=

n(1+n) 2 ，x=1 1-xn (1-x)2 - nxn 1-x ，x≠1

．．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．