Question

設a＞0，如圖，已知直線l：y=ax及曲線C：y=x²，C上的點Q₁的橫坐標為a₁ （0＜a₁＜a），從C上的點Q_n（n≥1）作直線平行于x軸，交直線l于點P_n+1，再從點P_n+1作直線平行于y軸，交曲線C于點Q_n+1，Q_n（n=1，2，3，…）的橫坐標構成數列{a_n}，
（Ⅰ）試求a_n+1與a_n的關系，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）當a=1，a₁≤時，證明；
（Ⅲ）當a=1時，證明。

Answer 1

（Ⅰ）解：∵，
∴，
∴

，
∴。
（Ⅱ）證明：由a=1知，
∵，
∴，
∵當k≥1時，，
∴；
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知，當a=1時，，
因此
。