Question

【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了有關(guān)特殊幾何體的定義：陽(yáng)馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，塹堵指底面是直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱.

（1）某塹堵的三視圖，如圖1，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，求該塹堵的體積；

（2）在塹堵中，如圖2，，若，當(dāng)陽(yáng)馬的體積最大時(shí)，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）2；（2），arcsin（或arccos）.

【解析】

（1）由三視圖還原原幾何體，再由棱柱體積公式求解；

（2）陽(yáng)馬B﹣A1ACC1的體積VA1A×AC×BCAC×BC（AC2+BC2）AB2，當(dāng)且僅當(dāng)AC＝BC時(shí)，，以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解空間角．

（1）由三視圖還原原幾何體如圖，

可知該幾何體為直三棱柱，底面是等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為，

直三棱柱的高為2，

則其體積為V；

（2）∵A1A＝AB＝2，陽(yáng)馬B﹣A1ACC1的體積：

VA1A×AC×BCAC×BC（AC2+BC2）AB2，

當(dāng)且僅當(dāng)AC＝BC時(shí)，，

以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A1（0，，2），B（，0，0），C1（0，0，2），

∴（0，，2），（，0，0），（0，，0），（，0，﹣2），

設(shè)平面CA1B的法向量（x，y，z），

則，取y，得（0，，﹣1），

設(shè)平面C1A1B的法向量（a，b，c），

則，取a，得（，0，1），

設(shè)當(dāng)陽(yáng)馬B﹣A1ACC1體積最大時(shí)，二面角C﹣A1B﹣C1的平面角為θ，

則cosθ，

∴當(dāng)陽(yáng)馬B﹣A1ACC1體積最大時(shí)，二面角C﹣A1B﹣C1的大小為arccos．