Question

【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn).

(1)求拋物線的方程；

(2)若直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為曲線:上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】

（1）由于與軸垂直，因此就是圓心，的長(zhǎng)是拋物線的通徑長(zhǎng)，從而易求得；

（2）點(diǎn)，，把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去得的一元二次方程，由韋達(dá)定理得，從而可得，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，求出到直線的距離，利用基本不等式可求得它的最小值，從而得三角形面積的最小值．

(1)由題意得，圓的半徑，解得：

故拋物線的方程為.

(2)設(shè)點(diǎn)，，由直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，

聯(lián)立得，

故，所以

由點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離

，

由，故

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以，

∴，

故面積的最小值為.