Question

【題目】已知x＝1是函數f（x）＝mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一個極值點，其中m，n∈R，m＜0．

（1）求m與n的關系表達式；

（2）求f（x）的單調區間；

（3）當x∈[﹣1，1]時，函數y＝f（x）的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）n＝3m+6．（2）f（x）在（﹣∞，1）單調遞減，在（1，1）單調遞增，在（1，+∞）單調遞減．（3）m＜0．

【解析】

（1）求出f′（x），因為x＝1是函數的極值點，所以得到f'（1）＝0求出m與n的關系式；

（2）令f′（x）＝0求出函數的極值點，討論函數的增減性確定函數的單調區間；

（3）由題意知f′（x）＞3m，分x＝1和x≠1，當x≠1時g（t）＝t，求出g（t）的最小值．要使（x﹣1）恒成立即要g（t）的最小值，解出不等式的解集求出m的范圍．

（1）f′（x）＝3mx2﹣6（m+1）x+n．

因為x＝1是f（x）的一個極值點，所以f'（1）＝0，即3m﹣6（m+1）+n＝0．

所以n＝3m+6．

（2）由（1）知f′（x）＝3mx2﹣6（m+1）x+3m+6＝3m（x﹣1）[x﹣（1）]

當m＜0時，有1＞1，當x變化時f（x）與f'（x）的變化如下表：

x	（﹣∞，1）	1	（1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	＜0	0	＞0	0	＜0
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

由上表知，當m＜0時，f（x）在（﹣∞，1）單調遞減，在（1，1）單調遞增，在（1，+∞）單調遞減．

（3）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x﹣1）[x﹣（1）]＞3m，

∵m＜0．∴（x﹣1）[x﹣1（1）]＜1．（*）

①x＝1時．（*）式化為0＜1恒成立．

∴m＜0．

②x≠1時∵x∈[﹣1，1]，∴﹣2≤x﹣1＜0．

（*）式化為（x﹣1）．

令t＝x﹣1，則t∈[﹣2，0），記g（t）＝t，

則g（t）在區間[﹣2，0）是單調增函數．∴g（t）min＝g（﹣2）＝﹣2．

由（*）式恒成立，必有m，又m＜0．∴m＜0．

綜上①②知m＜0．