Question

【題目】已知有限集，如果A中元素，滿足，就稱A為元“創(chuàng)新集”；

（1）若，試寫出一個二元“創(chuàng)新集”A；

（2）若，且是二元“創(chuàng)新集”，求的取值范圍；

（3）若是正整數(shù)，求出所有的“創(chuàng)新集”；

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）；

【解析】

（1）解方程得到一組解即可；

（2）設(shè)，則一元二次方程有兩個根，再根據(jù)判別式大于0，得到的取值范圍；

（3）證明，均不存在“創(chuàng)新集”，同時證明時，存在唯一“創(chuàng)新集”

（1）由“創(chuàng)新集”的定義得：，

令，得，則；

所以為二元“創(chuàng)新集”.

（2）若，且是二元“創(chuàng)新集”，

不妨設(shè)，

則由韋達定理知，是一元二次方程的兩個根，

由，可得或，

所以或.

（3）若是正整數(shù)，不妨設(shè)中，

由，所以，

當時，，所以，

所以，顯然無解，

所以時，不存在“創(chuàng)新集”.

當時，，故只能，求得，

所以.

當時，由，

則有成立，

但對時，恒成立，

所以對恒成立，

所以對不成立，

所以時不存在“創(chuàng)新集”.

綜上所述：“創(chuàng)新集”只有.