Question

【題目】已知直線，半徑為的圓與相切，圓心在軸上且在直線的上方．

（Ⅰ）求圓的標準方程；

（Ⅱ）過點的直線與圓交于兩點（在軸上方），問在軸正半軸上是否存在點，使得軸平分？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）當點的坐標為時，能使得成立.

【解析】試題分析：（Ⅰ）設圓心，由圓與直線相切，求出 ，得到圓C的標準方程；（Ⅱ）當直線軸，在軸正半軸上任一點，都可使軸平分； 當直線斜率存在時，設直線方程為， 聯立直線與圓的方程，消去，得到一個關于的二次方程，由韋達定理，求出 ，因為,求出的值.

試題解析：（Ⅰ）設圓心，

則（舍去）．

所以圓的標準方程為．

（Ⅱ）當直線軸，在軸正半軸上任一點，都可使軸平分；

當直線斜率存在時，

設直線方程為，

聯立圓的方程和直線的方程得，

，

故，

若軸平分，則

.

當點的坐標為時，能使得成立．