Question

【題目】定義在R上的奇函數f（x），當x∈（﹣∞，0）時，f（x）=﹣x2+mx﹣1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=0有五個不相等的實數解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設x＞0，則﹣x＜0，∴f（﹣x）=﹣x2﹣mx﹣1

又f（x）為奇函數，即f（﹣x）=﹣f（x），所以，f（x）=x2+mx+1（x＞0），

又f（0）=0，

所以

（2）解：由方程f（x）=0有五個不相等的實數解，得y=f（x）的圖象與x軸有五個不同的交點，

因為f（x）為奇函數，所以函數y=f（x）的圖象關于原點對稱，又f（0）=0，

所以f（x）=x2+mx+1（x＞0）的圖象與x軸正半軸有兩個不同的交點，

即，方程x2+mx+1=0有兩個不等正根，記兩根分別為x1，x2

所以，所求實數m的取值范圍是m＜﹣2

【解析】（1）運用奇函數的定義，設x＞0，則﹣x＜0，結合f（﹣x）=﹣f（x），又f（0）=0，即可得到所求解析式；（2）由題意可得f（x）=x2+mx+1（x＞0）的圖象與x軸正半軸有兩個不同的交點，運用判別式和韋達定理，解不等式即可得到所求范圍．