Question

【題目】已知橢圓:的離心率為，點在橢圓上，為坐標原點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知為橢圓上不同的兩點.①設線段的中點為點，證明:直線的斜率之積為定值；②若兩點滿足，當的面積最大時，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）①證明見解析②

【解析】

（1）將離心率轉化為關系，點坐標代入方程，即可求解；

（2）①設，，代入方程相減，即可證明結論；②結合①的結論，求出直線的斜率，設直線方程，與橢圓方程聯立，消元結合根與系數關系，求出，再求出到直線的距離，得到的面積目標函數，求出最大值即可.

（1）依題意有，解得，

所以橢圓的標準方程為；

（2）設，，則，兩式相減得:，①

∵的中點為，∴，

∴.

（3）解法l:由，因為，

所以，，②

代入①式得直線的斜率為，

設直線的方程:，聯立方程組，

消得:，由，

解得，且，，③

由②③可得， ，

到:的距離為，

所以，

當且僅當，即時取等號，滿足，

由②③可得，所以的值為.

解法2:設直線的方程:，

聯立方程組，消

得:，

，，

，

由，因為，

所以，，有，

所以，解得，下同解法1.