Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求證：函數(shù)有唯一零點；

（2）若對任意，恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）求出 ，先證明在區(qū)間上為增函數(shù)，又，，所以在區(qū)間上恰有一個零點，而在上恒成立，在上無零點，從而可得結(jié)果；（2））設(shè)的零點為，即. 原不等式可化為，令若，可得，等式左負(fù)右正不相等，若，等式左正右負(fù)不相等，只能，，即求所求.

試題解析：（1） ，

易知在上為正，因此在區(qū)間上為增函數(shù)，又，

因此，即在區(qū)間上恰有一個零點，

由題可知在上恒成立，即在上無零點，

則在上存在唯一零點.

（2）設(shè)的零點為，即. 原不等式可化為，

令，則，由（1）可知在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增，故只求，，設(shè)，

下面分析，設(shè)，則，

可得，即

若，等式左負(fù)右正不相等，若，等式左正右負(fù)不相等，只能.

因此，即求所求.