Question

【題目】給定函數，若對于定義域中的任意，都有 恒成立，則稱函數為“爬坡函數”.

（Ⅰ）證明：函數是“爬坡函數”；

（Ⅱ）若函數是“爬坡函數”，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）若對任意的實數，函數都不是“爬坡函數”，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）

【解析】

(1)根據“爬坡函數”的定義，直接利用“作差法”證明恒成立即可；(2)由題意可知，恒成立，利用換元思想，設，則 ,即為,分別討論對稱軸，求出函數的最小值即可；(3)由題意可知，對任意的實數,存在，使得成立，相當于有兩不相等的實根，利用二次函數的性質以及一元二次方程根與系數的關系列不等式可得結果.

（Ⅰ）恒成立

是“爬坡函數”

（Ⅱ）依題意得恒成立，令

即在恒成立

當，即，則只需滿足

當，即，則只需滿足

綜上所述，實數的取值范圍為；

（Ⅲ）根據題意可得到，對任意的實數，存在，使得成立

即

恒成立 即.