Question

【題目】在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數，），以坐標原點為極點，以軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，已知直線與曲線交于不同的兩點，.

（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）設，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）：，：；（2）.

【解析】

（1）根據消元法消去參數，得到直線的普通方程，利用，，，將曲線極坐標方程化為直角坐標方程；

（2）直線參數方程與曲線的直角方程聯立，結合直線參數方程的幾何意義和根與系數關系，將表示為關于的函數，通過確定的取值范圍，即可求解.

（1）因為，所以，

兩式相減可得直線的普通方程為.

因為，，，

所以曲線的直角坐標方程，

即.

（2）將直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程，

，

整理得關于的方程.

因為直線與曲線有兩個不同的交點，所以上述方程有兩個不同的解，

設為，，則，.

并且，

注意到，解得，故可知，，

因為直線的參數方程為標準形式，所以根據參數的幾何意義，

有，

因為，所以，.

因此的取值范圍是.