Question

【題目】定義在R上的奇函數y=f（x）滿足f（3）=0，且當x＞0時，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，則函數g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零點的個數為_______.

Answer 1

【答案】3

【解析】

要求函數g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零點的個數，可構造函數，將問題轉化為函數與函數的圖象的個數。根據已知條件可判斷函數的單調性和奇偶性，進而畫函數的圖象，觀察兩個函數圖象交點的個數即可。

令， 因為當x＞0時，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，

所以當x＞0時，。所以函數在上為增函數。

因為y=f（x）是定義在R上的奇函數，所以。

所以函數為偶函數，且函數在上為減函數。

因為定義在R上的奇函數y=f（x）滿足f（3）=0，所以。

所以。做函數與函數的圖象如圖所示。

由函數的圖象可知，函數與函數的圖象有三個交點。

所以函數g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零點的個數為3個。