Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D在棱BC上，AD⊥C₁D．
（1）求證：AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）設點E是B₁C₁的中點，求證：A₁E∥平面ADC₁．
（3）設點M在棱BB₁上，試確定點M的位置，使得平面AMC₁⊥平面AA₁C₁C．

Answer 1

分析：（1）要證AD⊥平面BCC₁B₁，只需證明AD⊥BC，利用勾股定理即可證得；
（2）要證A₁E∥平面ADC₁，只證A₁E∥AD，連接DE，可證四邊形ADEA₁為平行四邊形；
（3）M為BB₁的中點，取AC中點G，AC₁中點N，連接MN，BG，先證BG⊥面ACC₁A₁，再證MN∥BG即可；

解答：（1）證明：因為該幾何體為正三棱柱，所以AC12=AC2+CC12，
又AD⊥C₁D，所以AC12=AD²+DC12=AD²+DC²CC12，
所以AC²+CC12=AD²+DC²CC12，即AC²=AD²+DC²，
所以AD⊥DC，又AD⊥DC₁，DC∩DC₁=D，DC?面BCC₁B₁，DC₁?面BCC₁B₁；
所以AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）證明：由（1）知，AD⊥BC，∴D為BC中點，又E是B₁C₁的中點，
所以DE∥AA₁，DE=AA₁，所以四邊形ADEA₁為平行四邊形，
所以A₁E∥AD，且A₁E?面ADC₁，AD?面ADC₁，
所以A₁E∥面ADC₁．
（3）解：點M為BB₁的中點，證明如下：
取AC中點G，AC₁中點N，連接MN，BG，
則GN∥CC₁，且GN=

1

2

CC₁，又BM∥CC₁，BM=

1

2

CC₁，
∴GN∥BM，GN=BM，所以四邊形BMNG為平行四邊形，
∴MN∥BG；
∵△ABC為正三角形，∴BG⊥AC，又CC_1⊥面ABC，∴CC₁⊥BG，
∴BG⊥面ACC₁A₁，又MN∥BG，
所以MN⊥面ACC₁A₁，且MN?面AMC₁中，
所以平面AMC₁⊥面ACC₁A₁．

點評：本題考查線面平行、線面垂直及面面垂直的判定，考查學生的邏輯推理能力，考查學生的轉化論證能力．