Question

已知左焦點為F（-1，0）的橢圓過點E（1，）．過點P（1，1）分別作斜率為k₁，k₂的橢圓的動弦AB，CD，設M，N分別為線段AB，CD的中點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若P為線段AB的中點，求k₁；
（3）若k₁+k₂=1，求證直線MN恒過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的定義求出橢圓的標準方程；
（2）設A，B的坐標，利用點差法確定k₁的值；
（3）求出直線MN的方程，利用根與系數的關系以及k₁+k₂=1探究直線過哪個定點．
解答：（1）解：由題意c=1，且右焦點F′（1，0）
∴2a=EF+EF′=，b²=a²-c²=2
∴所求橢圓方程為；
（2）解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
①，②
②-①，可得k₁==-=-；
（3）證明：由題意，k₁≠k₂，
設M（x_M，y_M），直線AB的方程為y-1=k₁（x-1），即y=k₁x+k₂，
代入橢圓方程并化簡得（）x²+6k₁k₂x+=0
∴，
同理，，
當k₁k₂≠0時，直線MN的斜率k==
直線MN的方程為y-=（x-）
即
此時直線過定點（0，-）
當k₁k₂=0時，直線MN即為y軸，此時亦過點（0，-）
綜上，直線MN恒過定點，且坐標為（0，-）．
點評：本題考查橢圓方程，考查點差法的運用，考查直線與橢圓的位置關系，考查直線恒過定點，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．