Question

【題目】已知函數(shù)， .

(1)求在處的切線方程；

(2)當時，求在上的最大值；

(3)求證：的極大值小于1.

Answer 1

【答案】（1）；（2）故當時，；當時，；當時，；（3）詳見解析.

【解析】

(1)求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線斜率再由點斜式可得結果；(2)求出的解析式，求出，分別令可得函數(shù)增區(qū)間，令可得函數(shù)的減區(qū)間，分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可求出的最大值；(3)求出函數(shù)的導數(shù)，兩次求導可判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出函數(shù)的極值，判斷即可.

（1）∵，

∴，∴在處的切線方程為，

即，

（2），（），令，得，

在區(qū)間上，，函數(shù)是增函數(shù)；

在區(qū)間上，，函數(shù)是減函數(shù)；

故當時，在上遞減，.

當時，先增后減，故.

當時，在上遞增，此時.

（3），令，

，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，所以存在唯一的，

當時，

當時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，其中，所以函數(shù)有極大值.

函數(shù)的極大值是，由，得，

所以，因為，所以，即，

所以的極大值小于1.