Question

如圖所示，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

AB，M是PB的中點
（Ⅰ）求直線AC與直線PB所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求直線AB與面ACM所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：由“PA⊥底面ABCD，且∠DAB=90°”可知，此題建立空間直角坐標系相當方便．以A為坐標原點，AD長為單位長度，分別以AD、AB、AP為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，求出各點坐標計算各題．
（1）利用向量的數量積可知：cos＜

AC

，

PB

＞=

2

2 • 5

=

10

5

．可求出AC與PB所成的角余弦值．
（2）求出

AM

=（0，1，

1

2

），

AC

=（1，1，0），

AB

=（0，2，0），面ACM的法向量為

n

，運用|cos＜

n

，

AB

＞|=直線AB與面ACM所成角的正弦值求解即可．

解答： 解：以A為坐標原點AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則各點坐標為A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，

1

2

）．
（1）因

AC

=（1，1，0），

PB

=（0，2，-1）
|

AC

|=

2

，|

PB

=

5

，|
所以cos＜

AC

，

PB

＞=

2

2 • 5

=

10

5

．
所以，AC與PB所成的角余弦值為

10

5

．
（2）∵M（0，1，

1

2

），

AM

=（0，1，

1

2

），

AC

=（1，1，0），

AB

=（0，2，0），
∴面ACM的法向量為

n

=（x，y，z），

n • AM =0 n • AC =0

，

x+y=0 y+ z 2 =0

，

n

=（1，-1，2），
∴cos＜

n

，

AB

＞=

-2

2× 6

=-

6

6

，
∴直線AB與面ACM所成角的正弦值

6

6

．

點評：本小題考查空間中的異面直線所成的角、二面角、解三角形等基礎知識考查空間想象能力和思維能力．