Question

【題目】已知橢圓的焦距為，且，圓與軸交于點，，為橢圓上的動點，，面積最大值為.

（1）求圓與橢圓的方程；

（2）圓的切線交橢圓于點，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）圓的方程為，橢圓的方程為.；（2）.

【解析】分析：(1)由題意結合幾何關系得到關于a,b,c的方程組，求解方程組可得，，.則圓的方程為，橢圓的方程為.

(2)①當直線的斜率不存在時，計算可得.

②當直線的斜率存在時，設直線的方程為利用圓心到直線的距離等于半徑可得，聯立直線與橢圓方程可得，由弦長公式有.令，換元后結合二次函數的性質可得.則的取值范圍是.

詳解：(1)因為，所以.①

因為，所以點為橢圓的焦點，所以.

設，則，所以.

當時，，②

由①，②解得，所以，.

所以圓的方程為，橢圓的方程為.

(2)①當直線的斜率不存在時，不妨取直線的方程為，解得.

②當直線的斜率存在時，設直線的方程為.

因為直線與圓相切，所以，即，

聯立，消去可得，

.

=

=.

令，則，所以=，

所以=，所以.

綜上，的取值范圍是.