Question

【題目】如圖所示，E是正方形ABCD所在平面外一點，E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°，有以下四個命題：
（1）CD⊥面GEF；
（2）AG=1；
（3）以AC，AE作為鄰邊的平行四邊形面積是8；
（4）∠EAD=60°．
其中正確命題的個數為（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：連結EG，（1）∵EF⊥平面ABCD，AB平面ABCD，
∴EF⊥AB，
∵FG∥BC，BC⊥AB，
∴AB⊥FG，
又EF平面EFG，FG平面EFG，EF∩FG=F，
∴AB⊥平面EFG，∵AB∥CD，
∴CD⊥平面EFG．故（1）正確．（2）∵AB⊥平面EFG，
∴AB⊥EG，∵∠EAB=60°，AE=2，
∴AG= AE=1，故（2）正確．（3）∵AG=1= ，∴F為AC的中點．
∵AE=2，AC= =2 ，AF= = ，
∴EF= = ．
∴S△ACE= = =2，
∴以AC，AE作為鄰邊的平行四邊形面積為2S△ACE=4，故（3）錯誤；（4）過F作FM⊥AD于M，則AM=1，
由（1）的證明可知AD⊥平面EFM，故而AD⊥EM，
∴Rt△EAG≌Rt△EAM，
∴∠EAM=∠EAG=60°，故（4）正確．
故選：C

【考點精析】利用平面與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．