Question

【題目】已知函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，對(duì)于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，當(dāng)x1 ， x2∈[0，3]，且x1≠x2時(shí)，都有 ．給出下列命題： ①f（3）=0；
②直線x=﹣6是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對(duì)稱軸；
③函數(shù)y=f（x）在[﹣9，﹣6]上為增函數(shù)；
④函數(shù)y=f（x）在[﹣9，9]上有四個(gè)零點(diǎn)．
其中所有正確命題的序號(hào)為（把所有正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①：對(duì)于任意x∈R，都有f （x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=﹣3，則f（﹣3+6）=f（﹣3）+f （3），又因?yàn)閒（x）是R上的偶函數(shù)，所以f（3）=0． ②：由（1）知f （x+6）=f （x），所以f（x）的周期為6，
又因?yàn)閒（x）是R上的偶函數(shù)，所以f（x+6）=f（﹣x），
而f（x）的周期為6，所以f（x+6）=f（﹣6+x），f（﹣x）=f（﹣x﹣6），
所以：f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x），所以直線x=﹣6是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對(duì)稱軸．
③：當(dāng)x1 ， x2∈[0，3]，且x1≠x2時(shí)，都有
所以函數(shù)y=f（x）在[0，3]上為增函數(shù)，
因?yàn)閒（x）是R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)y=f（x）在[﹣3，0]上為減函數(shù)
而f（x）的周期為6，所以函數(shù)y=f（x）在[﹣9，﹣6]上為減函數(shù)．
④：f（3）=0，f（x）的周期為6，
所以：f（﹣9）=f（﹣3）=f（3）=f（9）=0
函數(shù)y=f（x）在[﹣9，9]上有四個(gè)零點(diǎn)．
所以答案是：①②④．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的零點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．即：方程有實(shí)數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，函數(shù)有零點(diǎn)才能正確解答此題．