Question

給出定義：設f′（x）是函數y=f（x）的導數，f″（x）是函數f′（x）的導數，若方程f″（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”．對于二次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），有如下真命題：任何一個二次函數都有位移的“拐點”，且該“拐點”就是f（x）的對稱中心，給定函數f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，請你根據上面結論，計算f（

1

2016

）+f（

2

2016

）+…+f（

2015

2016

）=

 

．

Answer 1

考點：導數的運算,函數的值

專題：導數的概念及應用

分析：由題意對已知函數求兩次導數可得圖象關于點（

1

2

，1）對稱，即f（x）+f（1-x）=2，即可得到結論．

解答： 解：函數的導數f′（x）=x²-x+3，
f″（x）=2x-1，
由f″（x₀）=0得2x₀-1=0
解得x₀=

1

2

，而f（

1

2

）=1，
故函數f（x）關于點（

1

2

，1）對稱，
∴f（x）+f（1-x）=2，
故f（

1

2016

）+f（

2

2016

）+…+f（

2015

2016

）=2×1007+f（

1

2

）=2014+1=2015．
故答案為：2015．

點評：本題主要考查導數的基本運算，利用條件求出函數的對稱中心是解決本題的關鍵．