Question

已知正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，設

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA′

=

c

，則
（1）

AC′

•

DB′

=

 

；cos＜

AC′

，

DB′

＞=

 

；
（2）

BD′

•

AD

=

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：空間向量及應用

分析：以DA所在的直線為x軸，DC所在的直線為y軸，DD′所在的直線為z軸建立空間直角坐標系，用坐標表示出

AC′

、

DB′

、

BD′

與

AD

，再利用坐標進行計算．

解答： 解：（1）以DA所在的直線為x軸，DC所在的直線為y軸，DD′所在的直線為z軸建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D′（0，0，1），C′（0，1，1），B′（1，1，1）；
∴

AB

=

a

=（0，1，0），

AD

=

b

=（-1，0，0），

AA′

=

c

=（0，0，1），
∴

AC′

=（-1，1，1），

DB′

=（1，1，1）；
∴

AC′

•

DB′

=-1×1+1×1+1×1=1；
cos＜

AC′

，

DB′

＞=

AC′ • DB′

| AC′ || DB′ |

=

1

3 × 3

=

1

3

；
（2）∵

BD′

=（-1，-1，1），

AD

=（-1，0，0），
∴

BD′

•

AD

=-1×（-1）-1×0+1×0=1．
故答案為：1，

1

3

，1．

點評：本題考查了空間向量的應用問題，解題的關鍵是建立適當的坐標系，是基礎題．