Question

如圖，正方形ABCD所在的平面與圓O所在的平面相交于CD，線段CD為圓O的弦，AE垂直于圓O所在的平面，垂足E是圓O上異于CD的點，AE=3，圓O的直徑為9．
（1）求證：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求二面角D-BC-E的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得AE⊥CD，CD⊥AD，由此能證明平面ABCD⊥平面ADE．
（2）由已知得CD⊥DE，CE=9，由已知條件推導(dǎo)出正方形ABCD的邊長為3

5

，從而DE=

AD2-AE2

=6，過點E作EF⊥AD于點F，作FC∥AB交BC于點G，連接GE，得到∠FGE是二面角D-BC-E的平面角，由此能求出二面角D-BC-E的余弦值．

解答： （1）證明：AE垂直于圓O所在平面，CD在圓O所在平面上，AE⊥CD，
在正方形ABCD中，CD⊥AD，
∵AD∩AE=A，CD⊥平面ADE，
∵CD?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ADE．
（2）解：CD⊥平面ADE，DE?平面ADE，
∴CD⊥DE，
∴CE為圓O的直徑，即CE=9，
設(shè)正方形ABCD的邊長為a，
在Rt△CDE中，DE²=CE²-CD²=81-a²，
在Rt△ADE中，DE²=AD²-AE²=a²-9，
由81-a²=a²-9，解得：a=3

5

，
∴DE=

AD2-AE2

=6，
過點E作EF⊥AD于點F，作FC∥AB交BC于點G，連接GE，
 由于AB⊥平面ADE，EF?平面ADE，
∴EF⊥AB，
∵AD∩AB=A，∴EF⊥平面ABCD，
∵BC?平面ABCD，
∴BC⊥EF，
∵BG⊥FG，EF∩FG=F，
∴BC⊥平面EFG，
∵EG?平面EFG，
∴BC⊥EG，
∴∠FGE是二面角D-BC-E的平面角，
在Rt△ADE中，AD=3

5

，AE=3，DE=6，
∵AD•EF=AE•DE，
∴EF=

AE•DE

AD

=

3×6

3 5

=

6 5

5

，
在Rt△EFG中，F(xiàn)G=AB=3

5

，
∴tan∠ECG=

EF

FG

=

2

5

，
∴cos∠ECG=

5 29

29

．
故二面角D-BC-E的平面角的余弦值

5 29

29

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．