Question

設(shè)關(guān)于正整數(shù)的函數(shù)
（1）求；
（2）是否存在常數(shù)使得對(duì)一切自然數(shù)都成立？并證明你的結(jié)論

Answer 1

（1），，
（2）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法思想，先利用特殊值來(lái)得到參數(shù)的a,b,c的值，然后對(duì)于解題的結(jié)果運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。

試題分析：解：（1），，                    3分
（2）假設(shè)存在a,b,c使題設(shè)的等式成立，這時(shí)，n=1,2,3得
             6分
于是，對(duì)n=1,2,3下面等式成立：
      8分
記
假設(shè)n=k時(shí)上式成立，即       10分
那么


也就是說(shuō)，等式對(duì)n=k+1也成立                          3分
綜上所述，當(dāng)a=3,b=11,c=10時(shí)，題設(shè)的等式對(duì)一切自然數(shù)n成立    14分
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)相關(guān)的命題，以及歸納猜想思想的運(yùn)用。屬于中檔題。