Question

【題目】函數f（x）＝xlnx－a（x－1）2－x，g（x）＝lnx－2a（x－1），其中常數a∈R．

（Ⅰ）討論g（x）的單調性；

（Ⅱ）當a＞0時，若f（x）有兩個零點x1，x2（x1＜x2），求證：在區間（1，＋∞）上存在f（x）的極值點x0，使得x0lnx0＋lnx0－2x0＞0．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析 （Ⅱ）x0＝e2

【解析】試題分析：（Ⅰ） 討論a與0的大小；（Ⅱ）由第一問得當a＞0時，在區間（0，1]上，f（x）＜0是顯然的，即在此區間上f（x）沒有零點；又由于f（x）有兩個零點，則必然f（x）在區間（1，＋∞）上有兩個零點x1，x2（x1＜x2），討論與1的大小，構造函數解出的值；

試題解析：

（Ⅰ）解：函數g（x）的定義域為（0，＋∞），導函數為．

①當a≤0時，g′（x）＞0恒成立，g（x）在定義域（0，＋∞）上是增函數；

②當a＞0時， ，并且，

在區間（0， ）上，g′（x）＞0，∴g（x）在（0， ）是增函數；

在區間（，＋∞）上，g′（x）＜0，∴g（x）在區間（，＋∞）上是減函數．

（Ⅱ）證明：當a＞0時，在區間（0，1]上，f（x）＜0是顯然的，即在此區間上f（x）沒有零點；又由于f（x）有兩個零點，則必然f（x）在區間（1，＋∞）上有兩個零點x1，x2（x1＜x2），

f′（x）＝lnx－2a（x－1），由（Ⅰ）知，f′（x）在區間（0， ）上是增函數，在區間（，＋∞）上是減函數．

①若，則，在區間（1，＋∞）上，f′（x）是減函數，f′（x）≤f′（1）＝0，f（x）在（1，＋∞）上單調遞減，不可能有兩個零點，所以必然有．

②當時，在區間（1， ）上，f′（x）是增函數，f′（x）＞f′（1）＝0；

在區間（，＋∞）上，f′（x）是減函數．依題意，必存在實數x0，使得在區間（，x0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函數；在區間（x0，＋∞）上，f′（x）＜0，f（x）是減函數．此時x0＞1，且x0是f（x）的極大值點．

所以f（x0）＞0，且f′（x0）＝0，即消去a得到x0lnx0＋lnx0－2x0＞0（x0＞1）．

設F（x）＝xlnx＋lnx－2x（x＞1），．

∵，∴x＞1時，F′（x）單調遞增．又F′（1）＝0，

∴x＞1時，F′（x）＞0．∴x＞1時，F（x）單調遞增．

又F（1）＝－2＜0，F（e2）＝2＞0．∴存在x0＝e2＞1滿足題意．

亦可直接觀察得到，x0＝e2時，e2lne2＋lne2－2e2＝2＞0，滿足題意．

點睛: 本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和極值、最值，考查了分類討論的思想，屬于難題.證明不等式往往是根據題意構造新函數，轉化為求函數的最值，本題中因為導函數的零點不能直接求出，可通過設出零點，再證明函數在其兩側的單調性，說明其為最小值點，證其大于零.