Question

已知橢圓

y2

75

+

x2

25

=1，求它的斜率為3的弦中點的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設出P，A，B的坐標，得到三點坐標的關系，把A，B的坐標代入橢圓方程后作差，代入直線l的斜率整理后即可得到答案；

解答： 解：設P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵P為弦AB的中點，∴x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y．
則

y12

75

+

x12

25

=1，①

y22

75

+

x22

25

=1，②
②-①得，

y2-y1

x2-x1

=-

3(x1+x2)

y1+y2

．
∴-

3x

y

=3，整理得：x+y=0．
由

x+y=0 y2 75 + x2 25 =1

，解得x=±

5 3

2

所求軌跡方程為：x+y=0．（-

5 3

2

＜x＜

5 3

2

）
∴點P的軌跡方程為：x+y=0（-

5 3

2

＜x＜

5 3

2

）；

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了“點差法”，涉及中點弦問題．利用點差法能起到事半功倍的作用，該題是中檔題．