Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 滿足an= +2n﹣2，n∈N* ， 且S2=6．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明： + + +…+ ＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an= +2n﹣2，n∈N*，且S2=6．

∴a2= +2×2﹣2=5，a1+a2=6，

解得a1=1．

又nan=Sn+2n2﹣2n，

當(dāng)n≥2時(shí)，（n﹣1）an﹣1=Sn﹣1+2（n﹣1）2﹣2（n﹣1），

相減可得：nan﹣（n﹣1）an﹣1=an+4n﹣4，

化為an﹣an﹣1=4，

∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為4．

∴an=1+4（n﹣1）=4n﹣3

（2）證明：Sn= =n（2n﹣1）．

∴n≥3， = ＜ ﹣ ．

∴ + + +…+ ＜1+ + + +…+ = ﹣ ＜ ．

∴ + + +…+ ＜

【解析】（1）利用遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（2）Sn= =n（2n﹣1）．n≥3， = ＜ ﹣ ．利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題．